目录

总结

121.买卖股票的最佳时机

问题描述

特点分析

动态规划思路

122.买卖股票的最佳时机Ⅱ

问题描述

特点分析

动态规划思路

123.买卖股票的最佳时机III

问题描述

特点分析

动态规划思路

188.买卖股票的最佳时机IV

问题描述

特点分析

动态规划思路

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

问题描述

特点分析

动态规划思路

714.买卖股票的最佳时机含手续费

问题描述

特点分析

动态规划思路

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总结

0、题目描述

• 121. 买卖股票的最佳时机  只买卖一次

• 122. 买卖股票的最佳时机 II 可以买卖多次

• 123. 买卖股票的最佳时机 III 最多买卖 2 次

• 188. 买卖股票的最佳时机 IV 最多买卖 k 次

• 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期 可以买卖多次，含冷冻期

• 714. 买卖股票的最佳时机含手续费 可以多次买卖，含手续费

1、dp数组的含义

• dp数组的含义基本上都是，在第 i 天，状态 j下，手中现金的最大值为dp[i][j]
• 所以针对买卖股票问题，先画一个类似以下这样的表格，分清有几种状态
  

2、递推公式

• 递推公式基本上都是从前一天推后一天的内容
• 从这点来看的话，其中就指定最多买卖 k 次那道题目比较复杂，是对最多买卖两次的延申
• 先分析有几种状态，再分析达到第 i 天的每种状态有哪些情况，根据情况写出递推公式

3、初始化

• 初始化在 第 0 天 下，各个状态下手中现金的最大值
• 其实在第 0 天，主要分成两种情况就可以
  • 要么是持有，那就-prices[0]
  • 要么就是未持有，那就是0
  • 如果是没有操作，也是 0

4、遍历方式

• 因为买卖股票的问题，都是从通过前一天的情况推导当天的情况，所以都是从前向后遍历

5、获取结果

• 未持有股票状态下比持有股票状态下的金钱多
• 买卖次数多比买卖次数少的金钱多
• 其中含冷冻期这道题目比较特殊，要对三种未持有股票状态进行比较

121.买卖股票的最佳时机

题目链接：力扣

问题描述

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

特点分析

• 只能买卖一次
• 可以暴力解法，超时
• 可以贪心算法，最右侧最大值  - 最左侧最小值
• 可以动态规划，

动态规划思路

dp[i][j] 表示在第 i 天，如果是状态 j , 手中的现金最大值为 dp[i][j]，默认一开始手中的现金为0

状态分析

 第 i 天有两种状态：持有股票、未持有股票

• 第 i 天持有股票
  成为这种状态，要么前一天已经持有股票，要么今天才持有股票（新买的），选取其中的最大值
  • 情况一：前一天已经持有股票，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
  • 情况二：前一天未持有股票，要让今天持有股票，那就今天买，dp[i][0] = -prices[i]
    
• 第 i 天未持有股票
  成为这种状态，要么是前一天已经是未持有股票状态，要么今天才未持有状态（刚卖的），选取其中的最大值
  • 情况一：前一天已经是未持有状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
  • 情况二：前一天还是持有状态，要让今天是未持有状态，那就今天卖，那前一天肯定是持有状态，dp[i][1] = dp[i][0] + prices[i] 
    

初始化

• 通过上面的状态分析，就可以获得dp数组的含义、递推公式
• 因为都是通过前一天获得的，所以就应该初始化第0天的状态
• 如果第 0 天持有股票，那肯定是买了，肯定花钱了，那就是 0 - prices[0]。因为手中一开始的钱就只有 0 
• 如果第 0 天持有股票，那还没有花钱，那就是 0

获取结果

• 结果就是表中最后一天未持有股票时手中的最大现金数
• 因为不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

122.买卖股票的最佳时机Ⅱ

题目链接：力扣

问题描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

特点分析

• 只能持有一只股票，可以买卖多次

• 可以贪心算法，只要能获利进行买卖

• 可以动态规划

动态规划思路

dp[i][j] 表示在第 i 天，如果是状态 j , 手中的现金最大值为 dp[i][j]，默认一开始手中的现金为0

这道题目，第 i 天有两种状态：持有股票、未持有股票，和 121. 买卖股票的最佳时机  是一样的，不一样的是递推公式

先看，只可以买卖一次的递推公式

只买卖一次，有两种状态

第 i 天持有股票

情况一：前一天已经持有股票，dp[i][0] = dp[i - 1][0]

情况二：前一天未持有股票股票，dp[i][0] = -prices[i]

第 i 天未持有股票

情况一：前一天已经是未持有状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]

情况二：前一天还是持有股票状态，dp[i][1] = dp[i][0] + prices[i]

再看，可以买卖多次的递推公式

可以买卖多次，有两种状态

第 i 天持有股票

情况一：前一天已经持有股票，dp[i][0] = dp[i - 1][0]

情况二：前一天未持有股票股票，dp[i][0] = dp[i - 1][1] - prices[i]

第 i 天未持有股票

情况一：前一天已经是未持有状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]

情况二：前一天还是持有股票状态，dp[i][1] = dp[i][0] + prices[i]

这里和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。

因为买卖股票的时候，可能已经出现前面获得利润的情况，不能从 0 开始买股票了，而是用前一天未持有股票的时候有的钱来买，这样才能将将前面的结果也进行累加

123.买卖股票的最佳时机III

题目链接：力扣

问题描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

特点分析

• 最多可以完成两笔交易
• 可以动态规划

动态规划思路

dp[i][j] 表示在第 i 天，如果是状态 j , 手中的现金最大值为 dp[i][j]，默认一开始手中的现金为0

状态分析

第 i 天有五种状态：但是也是主要分为持有股票和未持有股票，还有一个状态是没有操作

其中没有操作状态其实只用了一次，可以忽略，但是从下标 1 开始分析，更加方便，这样做最多 k 次买卖的时候也更加方便

1. 没有操作
2. 第一次买入（持有）
3. 第一次卖出（未持有）
4. 第二次买入（持有）
5. 第二次卖出（未持有）

• 第 i 天是第一次买入
  成为这种状态，要么第 i 天之前就已经第一次买入过了，要么第i 天新买的，选取其中的最大值
  • 情况一：前面已经买好了，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
  • 情况二：第一次新买的，第i天买入股票了，那么dp[i][0] =  - prices[i]
• 第 i 天是第一次卖出
  成为这种状态，要么第 i 天之前已经第一次卖出过了，要么第 i 天新买的
  • 情况一：前面已经卖过了，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
  • 情况二：今天刚刚卖出，这种状态只能由第一次买入状态得到，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i],
• 第 i 天是第二次买入
  成为这种状态，要么第 i 天之前已经第二次买入过了，要么第 i 天就是第二次买入
  • 情况一：前面已经买好了，dp[i][2] = dp[i - 1][2]
  • 情况二：今天刚买，那前天有肯定是第一次卖出的状态，那么dp[i][2] =  dp[i - 1][1]  - prices[i]

• 第 i 天是第二次卖出
  成为这种状态，要么第 i 天之前已经第二次卖出过了，要么第 i 天就是第二次卖出
  • 情况一：前面已经第二次卖过了，dp[i][3] = dp[i - 1][3]
  • 情况二：今天刚刚卖出，这种状态只能由第一次买入状态得到，那么dp[i][2] = dp[i - 1][2] + prices[i]

初始化

• 通过上面的状态分析，就可以获得dp数组的含义、递推公式
• 因为都是通过前一天获得的，所以就应该初始化第0天的状态
• 如果第 0 天持有股票，那肯定是买了，肯定花钱了，那就是 0 - prices[0]。因为手中一开始的钱就只有 0 
• 如果第 0 天持有股票，那还没有花钱，那就是 0

获取结果

• 结果就是表中最后一天 第二次卖出状态下 手中的最大现金数
• 因为不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
• 第二次卖出肯定比其他状态下的金钱多

188.买卖股票的最佳时机IV

题目链接：力扣

问题描述

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

特点分析

• 最多可以完成 k 笔交易
• 可以动态规划

动态规划思路

状态分析

• 其实这道题目和 123. 买卖股票的最佳时机 III 是原理一样的，只不过是维度上的拓宽
• 状态也是分为 没有操作、持有状态 、未持有股票状态
  
• 从下标 1 开始两两为一组买入、卖出状态
• 找到上一道题目的规律就可以

  • for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
        dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
        dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
    }

初始化

• 通过上面的状态分析，就可以获得dp数组的含义、递推公式
• 因为都是通过前一天获得的，所以就应该初始化第0天的状态
• 如果第 0 天持有股票，那肯定是买了，肯定花钱了，那就是 0 - prices[0]。因为手中一开始的钱就只有 0 
• 如果第 0 天持有股票，那还没有花钱，那就是 0

获取结果

• 结果就是表中最后一天 第k次卖出状态下 手中的最大现金数
• 因为不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
• 第k次卖出肯定比其他状态下的金钱多

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

题目链接：力扣

问题描述

给定一个整数数组prices，其中第  prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

特点分析

• 可以多次买卖，卖出后冷冻期为1天
• 可以动态规划

动态规划思路

dp[i][j] 表示在第 i 天，如果是状态 j , 手中的现金最大值为 dp[i][j]，默认一开始手中的现金为0

状态分析

第 i 天有五种状态：可以分为 持有股票状态 和 未持有股票状态

1. 持有股票状态（持有）
2. 未持有股票状态，并且过了冷冻期（未持有）
3. 未持有股票状态，还没过冷冻期，表示今天刚卖出（未持有）
4. 冷冻期状态（未持有）

• 第 i 天是持有股票状态
  成为这种状态，要么之前已经买过了，要么今天买（今天可以买，要么前一天是冷冻期，要么前一天还是未持有股票状态并且多了冷冻期），选取其中最大的
  • 情况一：之前已经买入了股票，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
  • 情况二：今天买
    • 前一天是冷冻期：dp[i][0] = dp[i - 1][3] - prices[i]
    • 前一天是未持有状态：dp[i][0] dp[i - 1][1] -prices[i]
      
• 第 i 天是未持有股票状态，并且过了冷冻期
  成为这种状态，要么前一天就是状态二(未持有股票状态，并且过了冷冻期),要么前一天是冷冻期(状态四)，今天就成为了状态二
  • 情况一：前一天已经是状态二，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
  • 情况二：前一天是冷冻期，dp[i][1] = dp[i - 1][3]

    

• 第 i 天是未持有股票状态，还没过冷冻期
  成为这种状态，是今天刚卖出股票，所以前一天是持有股票状态的，只能从状态一获取到
  • 情况：前一天是持有股票状态，dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]

    

• 第 i 天是冷冻期
  成为这种状态，就是前一天刚卖出股票，只能从状态三获得到
  • 情况：前一天卖股票，dp[i][3] = dp[i - 1][2]

    

初始化

• 通过上面的状态分析，就可以获得dp数组的含义、递推公式
• 因为都是通过前一天获得的，所以就应该初始化第0天的状态
• 如果第 0 天持有股票，那肯定是买了，肯定花钱了，那就是 0 - prices[0]。因为手中一开始的钱就只有 0 
• 如果第 0 天持有股票，那还没有花钱，那就是 0

获取结果

• 因为不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
• 但是这几个未持有股票的状态无法像之前的题目分出那个最大，只能通过程序获取

714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目链接：力扣

问题描述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

特点分析

• 可以买卖多次，每笔交易需要手续费
• 可以贪心算法
• 可以动态规划

动态规划思路

与122. 买卖股票的最佳时机 II 原理一样，只需要再卖出时付手续费就可以